[독서] 수학독습법

들어가며

• 원래 세상을 이해하는 데 필요한 교양이나 일반 상식이란, 어떤 분야에 관한 대략적인 이해를 가리킨다.

• 방정식을 풀거나 수리 모델을 만드는 일은 전문가에게 맡기면 그만이다.

• 일이란 서로 협력하면서 하는 것이므로 세세한 계산까지 전부 스스로 할 필요는 없다. 게다가 인간이 감당할 수 없는 복잡한 계산은 컴퓨터가 알아서 해 준다.

• 중요한 것은 아이디어의 서랍을 늘려서 기발한 생각이 떠오를 가능성을 높이는 것이다.

• AI, 머신러닝, 자율주행 등 최신 이슈를 이해해 업무에 응용하고 싶을 때

• 상사에게 새로운 사업을 제안하거나 업계 상황을 분석할 때

• 미래를 잘 살기 위한 수학 겨냥도

모르는 것을 알게 하는 대수학

모르는 것을 알기 위한 수학

• 아직 밝혀지지 않은 데이터도 x 같은 문자로 치환함으로써 명확하게 사고에 포함해 논리를 구축할 수 있다.

형태와 숫자를 연결하는 기하학

• 고대 이집트에서 여러 가지 형태의 토지 면적을 측정해야 하는 상황이 발생하면서 형태를 다루는 기하학이 발전했다

• 형태와 숫자를 연결 짓는 기능

변화를 분석하는 미적분학

• 물체의 운동을 연구하기 위해 ‘순간 포착’이라는 발상에서 해결의 실마리가 시작됨.

• 복잡한 변화를 단순해질 때까지 잘게 잘라서 계산한 뒤 합쳐서 원래대로 돌려놓는 것.
• 미분: 미세한 수준으로 분해해서 단순화하는 계산 기술
• 적분: 분해하여 계산한 결과를 쌓아 올려서 원래대로 되돌리는 계산 기술.

• 변화하는 모든 현상을 수학적으로 다루는 방법으로서 다양한 분야에서 폭넓게 응용된다.

• 현실 세계의 물체 속도는 시시각각 바뀌기 때문에 사용할 수 없다.

• 그럼 이 공식을 어떤 상황에서든 사용할 수 있도록 짧은 순간으로 나눠서 속도가 일정하도록 만든 것이다. (미분)

• 이렇게 순간순간의 이동 거리를 모두 더하면 전체 이동 거리를 구할 수 있다. (적분)

통계학은 거시적인 시각으로 경향을 파악한다.

어떤 현상의 전체적인 경향을 파악하기 위한 수학.

• 국가 정세를 분석하는 학문을 의미했음

• 인구나 산업에 관한 데이터를 모아 분석함으로써 전체적인 경향을 파악하여 다수의 국민에게 이로운 정책을 시행.

• 거시적인 관점으로 전체를 파악하기 위한 수학.

• 모르는 게 많다. → 가설을 세운다. → 대수학

• 추상적인 게 많다. → 그림이나 표를 그린다. → 기하학

• 복잡하게 변화한다. → 단순화한다. → 미적분학

• 방대한 데이터가 있다. → 전체상을 본다. → 통계학

대수학: 모르는 것이 있으면 가설을 세운다.

• 모르는 채로 넘어가지 않고 가설을 세워 다음 단계로 나아가는 학문

모르는 게 있을 때는 가설을 세워 생각을 이어 나가야 한다.

• 새로운 사업을 시작할 때 수중에 있는 한정된 정보만 가지고 가설을 세워 이야기를 전개하는 사고법을 말한다.

• E.g., 회사 A가 경쟁사 B에 비해 부진하고 있는 상황. 가격이 지나치게 비싸다(가설 1). 딜러 같은 판매 경로가 비효율적이다(가설 2). 광고가 부족하다(가설 3)… 등등 가설을 세워 대응책을 검토하는 것.

• 이게 바로 대수학

아직 파악하지 못한 미지의 숫자가 있으면 문자로 치환하여 식을 세우고 사고를 이어간다.

• 변수는 거기에 어떤 숫자가 들어갈지 모른다는 의미를 담고 있다.

• 모르는 것(구조)를 다루는 중요한 개념이다.

함수란 변수 사이의 관계성

• 고려해야 하는 요인이 너무 많기 때문이다.

• 그러나 변수가 늘어나는 것뿐, 기본적인 발상은 똑같다.

• ‘변수’와 ‘함수’라는 개념을 사용하면 자신의 사고를 수학적으로 정리해 명확하게 전달할 수 있다.

기하학: 보이지 않는 것은 형상화하여 파악한다.

기하학 = 시각화하는 도구

• 이를 극복하기 위한 가장 효과적인 방법은 시각적 요소를 활용하는 것이다.

• 인간은 눈으로 정보의 80%를 얻는 시각적 동물이다. 따라서 시각화는 이해를 돕는 데 큰 역할을 한다.

• 비즈니스에서도 그래프나 표를 적절하게 활용한 프레젠테이션이 좋은 평을 듣는다.

• 이 때 유용한 수학이 기하학

• 기하학은 추상적인 대상(데이터 등)에 형태(이미지)를 부여함으로써 이해를 돕는 학문이다.
• 무형의 것(데이터 등)을 유형의 것으로 변환하는 기능이 있다.

• 두 점 사이의 거리

삼각함수란 무엇인가

• 길이의 비를 사용하는 이유: 삼각형의 크기에 상관없이 적용할 수 있도록 하기 위해서

• 어느 각도를 입력했을 때 숫자가 나올지는 수학자들이 다 정리해두었다. 우리는 가져다 쓰기만 하면 된다.

미적분학: 복잡한 것은 단순화하여 분석한다.

미분 = 작은 변화를 보는(단순화하는) 도구 적분 = 원래대로 되돌리는 도구

• 성공은 단순함에서 나온다.

• 현명한 자는 복잡한 것을 단순하게 생각한다.

• 상황을 단순화하면 두뇌의 과부하를 피할 수 있으므로 사고를 쭉쭉 이어 나갈 수 있다.

• 0.1초라는 짧은 시간 동안 가속과 감속을 반복할 만큼 민첩한 운전자는 없기 때문이다.

• 그 정도로 짧은 간격이면 속도는 일정하다고 볼 수 있으므로 속도 × 시간 = 거리 공식을 사용할 수 있다.

• 이렇게 대상이 단순해질 떄까지 잘게 잘라서 처리하는 방식을 수학에서는 ‘미분’이라고 한다.

• Differential: 작은 변화(difference)에 주목한다

잘게 자른 것을 다시 쌓아 올려서 원래대로 되돌린다.

• Integral: 분리된 것을 통합(integrate)하여 원래대로 되돌린다.

• 비행기의 비행 원리: 기압 → 주변 블록의 기압을 미분 → 시간을 미분 → 다시 적분으로 다 더함.

통계학: 거시적인 시각에서 전체를 내려다본다.

• 통계학 = 전체를 내려다보는 도구 → 특징을 파악하여 지식을 얻는 학

• 데이터를 의사결정에 활용하려면 정보량을 줄이고 전체를 봐야 한다.

• 여분의 정보를 쳐내고 전체적인 분포 양상을 보는 것이 통계학의 방식

• 데이터의 분포를 시각화하여 특징을 파악할 때, 객관성을 유지하기 위해 특징을 수치화한 것이 요약 통계량

• 기술 통계학: 눈앞의 데이터를 분석하는 기법

• 추측 통계학: 눈앞의 데이터를 이용해서 전체 상황을 추측하는 기법. 전체를 대표하는 작은 규모의
• 전체에서 무작위로 추출해서 만든 표본이라면 전체의 특성을 잘 반영한다고 할 수 있다.
• 추정의 정확도가 모집단의 크기와 상관없다는 것은 추측 통계학에서 아주 중요한 포인트다.

• 통계학에서는 확률에 관한 판단 기준을 미리 정해놓고 확률이 그보다 낮으면 버린다는 규칙을 설정한다. 대체로 5%

• 통계학에는 수학과 다소 어울리지 않는 ‘추측’이나 ‘학습’ 같은 단어가 등장해서 난해하게 느껴진다. 그러나 이 모든 것이 세상의 요구에 응하여 고안된 것이다.

• 데이터를 다룰 때
1. 데이터 양이 많아서 전체를 파악하기 어렵거나(기술 통계학)
2. 전체의 극히 일부만 알 수 있다거나(추측 통계학)
3. 새로운 데이터가 끊임 없이 들어오는(베이즈 통계학)

수학적 사고란 무엇인가

수학적 사고 = 비즈니스적 사고 × 극한의 치밀함